回答:
木ネジがナベねじやトラスねじであれば、ネジ頭をつかみ回せる特殊ペンチ・ネジザウルスに頼る。難しい場合はなめたネジはずしビットに頼る。どちらも持っておいて損はない。
解説
あ～あ、抜けない
木ネジに限りませんが、年月が経ったものを抜こうとすると、ネジ頭の錆（サビ）・材料との固着などにより、ネジが固い、回らない、果てはネジ山をなめる、といった困難が伴います。
特にネジ山は、ネジ胴と比較すると強度が弱いという仕様になっています。
木ねじは熱処理されていないため、あまり堅い木材に使うと折れたり、ネジ山をなめてしまう場合があります。
ねじ山外周を把持して回す
ナベねじやトラスねじの場合、ネジが木材の上に出ていますので、把持力の強い特殊工具でネジ頭の外周をつかみ、回すことができます。
ロッキングプライヤー
ロッキングプライヤー（バイスプライヤー）は、その名の通り、バイス（＝万力）として強力に把持する目的の工具です。しかし、ネジトラブルにも活躍します。
なめたネジを取り外せる便利工具達！
バイスプライヤーは、本来溶接等でクランプとして使用することが目的の工具です。
おまけとしてネジ取りが機能がついていますが、むしろこの使い方が一般的？！えんじょいふる
ホームセンタージョイフル本田
引用元: 株式会社スリーピークス技研
ネジザウルス
ネジザウルスは、通常工具とは異なり、把持部に摩擦力を高める構造の工夫が盛り込まれています。ロッキングプライヤーとは異なり、ネジを把持する力は作業者の握力次第となります。
溝がなくなったネジでもOK！困った時のお助けツール
１．どんなネジでも外せます
２．タテ溝角度の最適化は国際特許取得
３．信頼できる数々の受賞歴あり
引用元: ホームセンターDCM
ねじ山が外に出ていない
コーススレッドのように、木材にネジ頭が埋め込まれるほど潜っている場合、家にあるものでジタバタするより、今後も使うネジはずしビットをすぐ買う方が、DIYの作業にすぐ戻れることでしょう。
兼子製作所の、ANEX なめたネジはずしビットを使います。
ＡＮＥＸ なめたネジはずしビット ＡＮＨ‐Ｓ１
なめたネジこれで解決。
電動ドライバーを使用してドリル部で穴あけ、ネジ部ではずす
ネジはずしビットは、通常ドリルビットの山の切り方と逆になっており、逆回転で先に進む機構です。このビットを逆回転でなめたネジに差し込むと、ネジにビットが噛みつくとともにネジに逆回転が伝わり、回せるという仕組みです。